Piccoli Solidi Platonici


Fig.1 - La figura di partenza

Se disegnamo un esagono ed uniamo tre vertici alterni con il centro, otteniamo un'immagine come quella in alto.
Questa immagine può essere facilmente facilmente "vista" come la sagoma di un cubo osservato lungo una delle sue quattro diagonali. L'effetto migliora se si colorano i tre rombi con colori che ricordino un'ombreggiatura realistica.

Per riuscire a vedere il cubo nascosto in questo disegno, dobbiamo integrare l'immagine con alcune informazioni tratte dall'esperienza ma che non sono presenti nel disegno: le linee verticali non sono più contenute in un piano ma alcune sono sopra il disegno altre sotto - pur restando parallele - altre diventano sghembe e si avvicinano all'occhio dell'osservatore o se ne allontanano.
Inoltre possiamo rendere più efficace l'illusione unendo col centro il vertici dell'esegono rimasti liberi; questi segmenti sono più efficaci se tratteggiati (Vedi figura in basso). In un cubo reale, questi segmenti non si vedono (sarebbero visibili solo in un cubo trasparente) ma -stranamente - aggiungendo un dettaglio non realistico, rendiamo l'illusiune più efficace.
Ancora più strano in questa figura è il ruolo del punto centrale che si sdoppia rappresentando contemporaneamente i due vertici del cubo uniti dalla diagonale lungo cui guardiamo il solido.


Fig.2 - Il cubo con le facce nascoste tratteggiate.

L'effetto straordinario di far comparire un solido da un disegno piano nasce, in parte dalle capacità del complesso sistema della visione umana che, solo in parte utilizza la visione binoculare per riscostruire le immagini tridimensionali ed in parte ricava le sue informazioni dall'esperienza.
Questo secondo fattore è stato sfruttato per codificare la complessa grammatica del linguaggio grafico che permette di concepire e descrivere oggetti tridimensionali con l'aiuto di disegni bidimensionali, senza doverli necessariamente costruire. Le regole della prospettiva e quelle del disegno tecnico ed architettonico sono il frutto di questo lavoro e costituiscono un vero e proprio linguaggio codificato.


Fig.3 - Figura completa

La figura che vedete sopra è piuttosto interessante: da una parte è una bella figura piana ottenuta spaziando regolarmente sei punti su di una circonferenza e poi unendo ciascun punto con tutti gli altri dopo aver cancellato la circonferenza.
Ma, se torniamo nello spazio tridimensionale, possiamo facilmente riconoscere un cubo con tutte le diagonali delle sei facce!

Ma questa figura contiene molto di più!
Se consideriamo uno dei due triangoli che compongono la stella di David e i tre segmenti che uniscono i suoi vertici al centro potremmo vedere un tetraedro, ricordando che il centro corrisponde anche al vertice del cubo vicino all'osservatore. E se prendiamo l'altro triangolo potremmo vedere anche l'altro tetraedro con il vertice verso il basso.


Fig.4 - Un teraedro

Dal momento che per costruire il primo tetraedro abbiamo preso il vertice verso l'osservatore e, per costruire la base, i tre vertici "equatoriali" lontani dall'osservatore mentre per costruire il secondo abbiamo preso il vertice lontano dall'osservatore ed i tre vertici "equatoriali" più vicini all'osservatore, i due tetraedri si intersecano.


Fig.5 - Due tetraedri

Se cancelliamo idealmente le linee che convergono al centro, otteniamo due triangoli equilateri che si intersecano a formare la stella di David. Ma se solleviamo uno dei due triangoli sopra il piano del disegno, vediamo comparire uno strano solido con due basi triangolari parallele e delle faccette che uniscono un lato di una base con un vertice dell'altra. Le faccette laterali sono sei, le basi sono due e, se poniamo che i lati siano tutti uguali (anche quelli accorciati dalla visione in prospettiva) otteniamo un ottaedro (che è un antiprisma a basi triangolari).


Fig.6 - L'ottaedro

Se torniamo alla Figura n. 3 e cerchiamo di rivedere il cubo, possiamo riconoscere le diagonali delle facce che si intersecano individuando sei punti. Se uniamo i sei punti vedremo comparire un solido con sei vertici e otto facce triangolari: un ottaedro più piccolo del precedente e disposto con una diagonale verticale che unisce le due basi del cubo.


Fig.7 - Ad infinitum

Ma il disegno piano dell'ottaedro piccolo (in giallo) costituisce un nuovo esagono completo delle sue diagonali su cui potremmo ripetere tutte le considerazioni fatte sul grande ad infinitum!

Questa immagine è particolarmente utile per illustrare il rapporto tra esaedro (cubo), che ha sei facce ed otto vertici, e l'ottaedro, che ha otto facce e sei verttici.

E' anche possibile un cubo in un tetraedro "tagliando" i vertici o "accrescendo" le facce e passando per varie forme intermedie che sono solidi archimedei.


Fig.8 - Transizione da cubo ad ottaedro (WIKIPEDIA)

Se ripetiamo sul tetraedro la stessa operazione di unire i centri delle facce, appena fatta sul cubo, otteniamo... un nuovo tetraedro! Questo nuovo tetraedro è più piccolo del primo ed ha un orientamento opposto (base in alto e vertice in basso). I tetraedro è infatti duale di se stesso!.

Piero Nicolafrancesco
2017-09-30
CC-BY